Se puede usar el método DoDragDrop de un control para inicializar el arrastre de información y detener la ejecución del hilo principal hasta que la información seleccionada sea soltada.

Este método toma dos parámetros: data, que define la información que será arrastrada y allowedEffects que define las operaciones válidas All, Copy, Move, Link, None, Scroll.

El siguiente ejemplo muestra la secuencia de arrastrado de una cadena almacenda en un control TextBox1 y el soltado en un control TextBox2

1º Se Inicializa el arrastre

Private Sub TextBox1_MouseDown(ByVal sender As System.Object, ByVal e As MouseEventArgs) Handles TextBox1.MouseDown

    Dim DragDropResult As DragDropEffects

    If e.Button = MouseButtons.Left Then
        DragDropResult = TextBox1.DoDragDrop(TextBox1.Text, DragDropEffects.All)

            If DragDropResult = DragDropEffects.Move Then
                TextBox1.Text = ""
            End If
        End If
End Sub

2º Se modifica el ícono del ratón

Private Sub TextBox2_DragOver(ByVal sender As Object, ByVal e As DragEventArgs) Handles TextBox2.DragOver

    Select Case e.KeyState
        Case 1
            'No key pressed
            e.Effect = DragDropEffects.Move
        Case 9
            'CONTROL key pressed
            e.Effect = DragDropEffects.Copy
        Case Else
            e.Effect = DragDropEffects.None
    End Select
End Sub

3º Se suelta la información

Public Sub TextBox2_DragDrop(ByVal sender As Object, ByVal e As DragEventArgs) Handles TextBox2.DragDrop
    TextBox2.Text = e.Data.GetData(DataFormats.Text).ToString
End Sub

Para más información:
MOC 2373 - Programing with Microsoft Visual Basic .NET
MSDN - DragDropEffects